上极限和下极限,如何理解实变函数中的上极限和下极限？

上极限是指收敛子数列的极限值的上确界值。 下极限函数是为判断函数下半连续性而引进的一个概念。设f(x)是定义在点集E上的扩充实值函数，若在闭包E内的点x的δ邻域与E的交内，函数f所取的值的下确界为m(x)，则m(x,δ)在δ趋于0时的极限称为f(x)沿E的下极限函数。 由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集一个数量上的概念，这个概念叫做测度。简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度概念对于实变函数论十分重要。 扩展资料： 当x0∈E，m(x0)=f(x0)时，即-f(x)在x0上半部分连续时，称f在x0处下半连续。当x0∈E，M(x0)=f(x0)时，称f在x0处上半连续。这两种情形统称为f在x0处半连续。 举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。逼近论就是研究一类函数用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度、在逼近中出现的各种情况。 参考资料来源：百度百科-下极限函数 参考资料来源：百度百科-上极限

上极限是指收敛子数列的极限值的上确界值。 给定无穷数列（xn），它的一切收敛子数列的极限值的上确界值，称为该无穷序列的上极限。 或定义为 因为 是递减的，所以讨论其极限值是有意义的。 依据致密性定理，有界数列必有收敛子列，收敛子列的极限中的最大者与最小者特别重要，这就是数列的上、下极限的概念。 扩展资料： 当x0∈E，m(x0)=f(x0)时，即-f(x)在x0上半部分连续时，称f在x0处下半连续。当x0∈E，M(x0)=f(x0)时，称f在x0处上半连续。这两种情形统称为f在x0处半连续。 在同一极限过程中下列式子成立： 若u存在，则上面的不等式成为等式。

要看你的教材用哪个定义了。比较简单的定义是这样：
若{y_n}是{x_n}的收敛子列（暂时把y_n->+oo或y_n->-oo也看作收敛），那么Y=lim y_n称为{x_n}的一个极限点。{x_n}的上极限就是其最大的极限点。
如果是这个定义的话已经很简单了，并没有比极限的定义复杂多少，实在不理解就反复看反复想。

如果你看到的定义是
limsup_{n->oo} x_n = lim_{n->oo} sup_{m>n} x_m
或者
limsup_{n->oo} x_n = inf_{n>0} sup_{m>n} x_m
那么用前面简单的定义来理解